CHUYÊN ĐỀ : CÁCH TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

A . ĐẶT VẤN ĐỀ

I . LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Qua thành công của chuyên đề : “ Cách tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ” . Và thực tế đặt ra học sinh cần phát triển thêm về các dạng phương trình nghiệm nguyên . Với lại ở các đề thi vào khối 10 trường chuyên , các đề thi học sinh giỏi cấp huyện , cấp tỉnh thường có các bài toán về nghiệm nguyên . Do vậy tôi tiếp tục viết chuyên đề thứ hai : “ Cách tìm nghiệm nguyên của pt bậc hai hai ẩn ” để bồi dưỡng các em trong đội tuyển năng khiếu của trường .

II . PHẠM VI ĐỀ TÀI

Trong đề tài này tôi xin đề cặp đến vấn đề : “ Cách tìm nghiệm nguyên của pt bậc hai hai ẩn ” . Đề tài này áp dụng cho giáo viên bồi dưỡng học sinh năng khiếu bộ môn toán .

III . ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

Đề tài có thể áp dụng đối với học sinh học xong chương trình lớp 9 của Trường THCS Cát Thành trong các năm học . Đề tài thực hiện trong các tiết bồi dưỡng học sinh năng khiếu bộ môn toán . Đánh giá hiệu quả của đề tài thông qua học sinh hiểu bài và kết quả của bài kiểm tra cuối kì bồi dưỡng .

B . GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I . NHẬN XÉT CHUNG ( chưa viét )

Những bài tập tìm nghiệm nguyên của pt bậc hai một ẩn không có trong chương trình SGK . Do vậy khi gặp các em thường lúng túng trong cách giải . Và các em thường yếu trong các khâu biến đổi biểu thức , nhìn nhận đặt điểm một biểu thức . Nên giáo viên hướng dẫn các em cách giải chung và riêng , đi giải từ pt trình dễ khi các em quen sẽ đi dần đến pt khó , cuối cùng cho các em làm quen với các bài toán liên quan đến pt bậc nhất hai ẩn .

II . NỘI DUNG






CÁCH TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

LÍ THUYẾT

Không có một phương pháp chung nào để giải mọi pt bậc hai có hai ẩn . Đối với mỗi pt , ta phải xem xét đặc điểm của nó để tùy trường hợp cụ thể , có thể phân tích ra thừa số hoặc viết dưới dạng tổng rồi vận dụng tính chất chia hết , có thể thử để thấy một nghiệm ( trong trường hợp dễ thấy ) rồi từ đó tìm cách suy ra các nghiệm khác hoặc chứng minh rằng pt không thể có nghiệm nào khác nữa .
Sau đây là một vài phương pháp thường gặp khi giải pt bậc hai có hai ẩn .

1 . Phương pháp đưa về phương trình ước số
Ví dụ 1 :
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy – x – y = 2
Giải :
xy – x – y = 2 ( (xy – x) – ( y – 1 ) = 3
( x( y – 1 ) – ( y – 1 ) = 3 ( ( y – 1 )( x – 1 ) = 3 ( pt ước số )
Vì x , y
Z ( x -1 và y -1 là các số nguyên và là các ước của 3 .
Ta có bảng sau :

x - 1
3
-3
1
-1

y - 1
1
-1
3
-3

x
4
-2
2
0

y
2
0
4
-2


Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên : (4;2) ; (-2;0) ; (2;4) ; (0;-2)

Chú ý : Qua bảng trên ta thấy vai trò của x , y như nhau do vậy để lập bảng ngắn gọn hơn ta giả sử x ≥ y ( x – 1 ≥ y - 1 . Khi đó bảng của ta chỉ cần có cột 1,2,4 . Nhưng khi kết luận các em nhớ lấy các nghiệm cho đầy đủ .

2 . Phương pháp tách ra giá trị nguyên
Ví dụ 2 :
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy – x – y = 2
Giải :
xy – x – y = 2 ( x ( y – 1 ) = y + 2
Ta thấy y
1 (vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3 , vô nghiệm )
Do đó :

Ta có x
Z nên
( y -1 là ước của 3 ( y = 4 ; 2 ; 0 ; -2
Với y = 4 ( x = 2 ; y = 2 ( x = 4 ; y = 0 ( x = -2 ; y = -2 ( x = 0
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên : (4;2) ; (-2;0) ;