CHUYÊN ĐỀ : CÁCH TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A . ĐẶT VẤN ĐỀ

I . LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường THCS là nhiệm vụ cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên. Đặc biệt chất lượng giáo dục đối với học sinh năng khiếu . Đã nhiều năm rồi Trường THCS Cát Thành chưa có học sinh vào đội tuyển học sinh năng khiếu môn toán cấp huyện . Là một giáo viên dạy bộ môn toán ở trường , tôi luôn trăn trở với điều này . Ta phải bồi dưỡng học sinh ngay từ lớp nào ? Nội dung nào có thể bồi dưỡng phù hợp ? Và tôi nhận thấy dạng toán phương trình nghiệm nguyên thường có trong các đề thi vào 10 khối chuyên , trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện , cấp tỉnhDo vậy tôi chọn nội dung : “ Cách tìm nghiệm nguyên của pt bậc nhất hai ẩn ” để bồi dưỡng cho các em ngay từ đầu HKII của lớp 6 .

II . PHẠM VI ĐỀ TÀI

Trong đề tài này tôi xin đề cặp đến vấn đề : “ Cách tìm nghiệm nguyên của pt bậc nhất hai ẩn ” . Đề tài này áp dụng cho giáo viên bồi dưỡng học sinh năng khiếu bộ môn toán .

III . ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

Đề tài có thể áp dụng đối với học sinh học xong chương số nguyên của lớp 6 của Trường THCS Cát Thành trong các năm học . Đề tài thực hiện trong các tiết bồi dưỡng học sinh năng khiếu bộ môn toán . Đánh giá hiệu quả của đề tài thông qua học sinh hiểu bài và kết quả của bài kiểm tra cuối kì bồi dưỡng .

B . GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I . NHẬN XÉT CHUNG

Những bài tập tìm nghiệm nguyên của pt bậc nhất một ẩn không có trong chương trình SGK . Do vậy khi gặp các em thường lúng túng trong cách giải . Và các em thường yếu trong các khâu biến đổi biểu thức , nhìn nhận đặt điểm một biểu thức . Nên giáo viên hướng dẫn các em cách giải chung và riêng , đi giải từ pt trình dễ khi các em quen sẽ đi dần đến pt khó, cuối cùng cho các em làm quen với các bài toán liên quan đến pt bậc nhất hai ẩn .

II . NỘI DUNG





CÁCH TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

LÍ THUYẾT

1. Định nghĩa :
Phương trình bậc nhất hai ẩn là pt có dạng ax + by = c , trong đó a,b,c là các số nguyên , a
0 , b
0 .

2 . Phương pháp giải :
a) Phương pháp chung :
Rút gọn pt trình , chú ý đến tính chia hết của các ẩn .
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ ( chẳng hạn x ) theo ẩn kia .
Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x .
Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên
, ta được một pt bậc nhất hai ẩn y và
.
Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên .
Thực chất của cách giải này là thay đổi giải pt ax + by = c bởi giải các pt


Trong đó các hệ số
,
,…;
,
,… có giá trị tuyệt đối nhỏ dần cho đến khi được một hệ số có giá trị tuyệt đối bằng một .
b) Phương pháp tìm nghiệm riêng :
Phương trình : ax + by = c (1)
trong đó a,b,c là các số nguyên , a
0 , b
0 và (a,b,c) = 1.
Định lí 1 :
Nếu pt (1) có nghiệm nguyên thì (a,b) = 1 và ngược lại .
Định lí 2 :
Nếu
là một nghiệm của pt (1) thì pt (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng :

( t
Z )
Ví dụ :
Tìm các nghiệm nguyên của pt 3x – 2y = 5
Giải :
Ta thấy x = 1 ; y = -1 là một nghiệm riêng của pt đã cho .
Vậy pt đã cho có vô số nghiệm nguyên được biểu thị bởi công thức :

( t
Z )



BÀI TẬP

Bài 1 : Tìm các nghiệm nguyên của các pt sau :
a) 3x + 5y = 10 ; b) 3x + 17y = 159 ; c) 12x – 7y = 45 ; d) 47x + 162y = 2
Giải :
3x + 5y = 10
Cách 1 : Trước hết ta giải bằng phương pháp chung ;
3x + 5y = 10 (

Đặt t =
( t
Z ) ( y = 3t –